Pythagoreisches Komma

Ein Rechenfehler, den niemand beheben kann

Der Artikel Warum dein Klavier leicht verstimmt ist führt das Komma so ein: Man stapelt von c aus zwölf reine Quinten übereinander, also c, g, d, a, e, h, fis, cis, gis, dis, ais, eis und weiter bis zum Ton his. Der letzte Ton sollte nach zwölf Quinten wieder ein c sein, sieben Oktaven höher. Er ist es nicht: Er liegt um knapp ein Viertel Halbton daneben, genauer um 23,46 Cent.

Der Grund ist rein rechnerisch. Eine reine Quinte hat das Verhältnis 3:2, eine Oktave 2:1. Zwölf Quinten und sieben Oktaven führen auf zwei Zahlen, die nicht gleich sein können, denn eine Potenz von 3 ist niemals eine Potenz von 2.

Daraus folgt laut Artikel: Ein Tasteninstrument mit zwölf Tönen pro Oktave kann nicht alle Intervalle rein haben. Irgendwo muss der Fehler untergebracht werden. Die gesamte Geschichte der Stimmungssysteme ist die Geschichte der Frage, wo genau.

Wohin mit dem Komma?

Der Artikel nennt drei Antworten:

• Reine Stimmung: Die Intervalle einer einzigen Tonart werden exakt nach einfachen Verhältnissen festgelegt (Terz 5:4, Quinte 3:2). In dieser Tonart klingt alles makellos. Moduliert man, wird es unerträglich, einzelne Intervalle geraten um mehr als 20 Cent daneben. Für Chöre a cappella bleibt sie der Normalfall, weil Sänger die Tonhöhe laufend anpassen können. Siehe Reine Stimmung.
• Mitteltönige Stimmung: Sie macht die großen Terzen rein und verkleinert dafür jede Quinte ein wenig. Das klingt in den gebräuchlichen Tonarten warm. Der Preis ist eine einzige, grässlich verstimmte Quinte, die Wolfsquinte, meist zwischen gis und es.
• Gleichstufige Stimmung: Das Komma wird vollkommen gleichmäßig verteilt, jeder Halbton ist die zwölfte Wurzel aus zwei. Keine Quinte und keine Terz ist rein, aber alle Tonarten sind gleich gut. Die Quinte liegt 2 Cent zu tief, was niemand hört, die große Terz 14 Cent zu hoch.

Die Zahl 2 passt zum Komma: Zwölf Quinten, jede um knapp 2 Cent (genau 1,955) verkleinert, machen zusammen gerade die 23,46 Cent aus, um die die reinen Quinten zu weit waren.

Das Komma und der Quintenzirkel

Auf der Seite Quintenzirkel steht die Folge für die Grafik: Die breite Anerkennung des Zirkels wurde erst durch die gleichstufige Stimmung möglich. Erst dann schließen sich die zwölf Quinten zu einem perfekten Kreis. Ohne gleichstufige Stimmung übersteigen zwölf geschichtete reine Quinten sieben Oktaven um das pythagoreische Komma von etwa 23,46 Cent.

Dort steht auch, wofür die Wohltemperierung gedacht war: Bach schrieb mit dem Wohltemperierten Klavier je ein Präludium und eine Fuge in allen 24 Dur- und Molltonarten, um zu zeigen, dass jede Tonart auf einem einzigen Instrument spielbar war. Wohltemperiert meint dabei nicht zwingend gleichstufig, sondern Stimmungen, in denen alle Tonarten brauchbar klingen.

Was man davon hört

Der Artikel beschreibt die Folgen im Alltag. Wer ein Klavier stimmt und jede Saite exakt auf null Cent bringt, hat ein gleichstufig gestimmtes Instrument und einen C-Dur-Dreiklang, dessen Terz 14 Cent zu hoch steht. Der Akkord schwebt leicht, und das ist normal: ein eingebauter Kompromiss, kein Defekt. Streichquartette, Posaunenchöre und Vokalensembles intonieren Terzen tiefer, als das Klavier sie hätte, weil das Ohr auf Schwebungsfreiheit hin korrigiert. Deshalb klingt ein a-cappella-Akkord oft reiner als derselbe Akkord auf dem Flügel. Auch ein Stimmgerät misst gegen das gleichstufige Raster, also gegen einen Kompromiss.

Häufige Fehler

• Komma und Cent verwechseln: Das Komma ist ein Unterschied zwischen zwei Tönen. Cent ist die Einheit, in der man ihn misst.
• Das Komma für einen Stimmfehler halten: Es ist keine Ungenauigkeit des Instruments, sondern eine Eigenschaft der Zahlen 3 und 2.
• Zwölf Töne für zwölf Quinten zählen: Von c aus erreichen elf Quinten den Ton eis, erst die zwölfte führt zu his. Die Quintenkette c–g–d–a–e–h–fis–cis–gis–dis–ais–eis hat zwölf Töne, aber nur elf Quinten.